Grégory Miermont (Université Paris 11 Sud, Département de Mathématiques, UMR8628 CNRS - P11, Prix 2008 de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris) -
Choisir une surface au hasard : la limite d'échelle des cartes planaires :
Un des résultats fondamentaux des probabilités stipule que (sous certaines hypothèses) le comportement d'une longue marche aléatoire approche celui d'un processus universel, le célèbre mouvement brownien. On dit que ce dernier est la limite d'échelle, ou limite continue, des marches aléatoires. Le mouvement brownien peut donc être raisonnablement imaginé comme un chemin continu choisi «uniformément au hasard».
Plus généralement, il est naturel de se demander si des structures aléatoires continues permettent d'éclairer l'étude d'autres grands objets discrets aléatoires, comme par exemple des graphes aléatoires. Dans cet exposé, je discuterai le problème de la limite d'échelle des cartes planaires aléatoires, c'est-à-dire de graphes finis tracés dans le plan. Ce problème fait l'objet d'une attention soutenue dans les années récentes, et est motivé entre autres par des questions de physique théorique. Le but est ici de trouver le bon objet continu qui est approché par un graphe plan aléatoire choisi uniformément dans une certain famille, par exemple les triangulations de la sphère à n sommets, avec n grand. On obtient ainsi ce que l'on pourrait appeler une surface continue aléatoire choisie uniformément au hasard, la «carte brownienne».
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La 3e édition de Mathématiques en mouvement, une journée de conférences organisée par la Fondation et destinée à montrer aux étudiants la prodigieuse diversité des mathématiques, s'est tenue le mercredi 4 mai 2011 à l'l'Université Paris-Diderot.